$3$\displaystyle{ {t}^{n}{e}^{ - at } }$ のラプラス変換

$3$\displaystyle{ L\text{\hspace{1}}\left{{ {t}^{n}{e}^{ - at } }\right}=\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{ n+1 } \hspace{2}} }$

ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$ ， $3$\displaystyle{a< 0}$

■証明

ラプラス変換の定義より

$3$\displaystyle{ L\text{\hspace{1}}\left{{ {t}^{n}{e}^{ - at } }\right} }$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{t}^{n}{e}^{ - at }\cdot {e}^{ - st }dt}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{t}^{n}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{t}^{n}{\left{{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right}}^{\prime }dt}$

部分積分法を用いる．

$3$\displaystyle{=\left[{ {t}^{n}\left{{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right} }\right]_{0}^{\infty}}$ $3$\displaystyle{- \displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{\left({ {t}^{n} }\right)}^{\prime }\left{{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right}dt}$

$3$\displaystyle{=0+\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{t}^{ n- 1 }{e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{t}^{ n- 1 }{e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{t}^{n}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt=\hspace{1}{I}_{n}}$ とおくと(1)は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{n}=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\hspace{1}{I}_{ n- 1 }}$ 　･･････(2)

となる．(2)の漸化式は以下のように式展開できる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{n}=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\hspace{1}{I}_{ n- 1 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\hspace{1}{I}_{ n- 2 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} n- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\hspace{1}{I}_{ n- 2 }}$

$3$\displaystyle{\cdots }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{n} \hspace{2}}\hspace{1}{I}_{0}}$ 　･･････(3)

ここで

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{0}=\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt}$ $3$\displaystyle{=\left[{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right]_{0}^{\infty}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

となる．

(3)に(4)を代入する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{n}=\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{n} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{ n+1 } \hspace{2}}}$ 　･･････(5)

したがって

$3$\displaystyle{ L\text{\hspace{1}}\left{{ {t}^{n}{e}^{ - at } }\right}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

となる．

■別証明

微分則

$3$\displaystyle{ L\text{\hspace{1}}\left{{ { \left({ - t }\right) }^{n}f\left({t}\right) }\right}={F}^{ \left({n}\right) }\left({s}\right) }$ 　ただし， $3$\displaystyle{F\left({s}\right)=L\text{\hspace{1}}\left{{ f\left({t}\right) }\right}}$ 　･･････(6)

を活用する．

$3$\displaystyle{f\left({t}\right)={e}^{ - at }}$ 　･･････(7)

とすると，指数関数のラプラス変換より

$3$\displaystyle{F\left({s}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$ 　･･････(8)

である．

(1)に(2)，(3)を代入する．

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ { \left({ - t }\right) }^{n}f\left({t}\right) }\right}=\frac{\hspace{2} {d}^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} d{s}^{n} \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {d}^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} d{s}^{n} \hspace{2}}{\left({ s+a }\right)}^{ - 1 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {d}^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2} d{s}^{ n- 1 } \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}{ \left({ s+a }\right) }^{ - 1 } }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {d}^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2} d{s}^{ n- 1 } \hspace{2}}\left({ - 1 }\right){\left({ s+a }\right)}^{ - 2 }}$

$3$\displaystyle{=\left({ - 1 }\right)\frac{\hspace{2} {d}^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2} d{s}^{ n- 1 } \hspace{2}}{\left({ s+a }\right)}^{ - 2 }}$

$3$\displaystyle{=\left({ - 1 }\right)\left({ - 2 }\right)\frac{\hspace{2} {d}^{ n- 2 } \hspace{2}}{\hspace{2} d{s}^{ n- 2 } \hspace{2}}{\left({ s+a }\right)}^{ - 3 }}$

$3$\displaystyle{\cdots }$

$3$\displaystyle{=\left({ - 1 }\right)\left({ - 2 }\right)\cdots \left{{ - \left({ n- 1 }\right) }\right}\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\left({ s+a }\right)}^{ - n }}$

$3$\displaystyle{=\left({ - 1 }\right)\left({ - 2 }\right)\cdots \left{{ - \left({ n- 1 }\right) }\right}\left({ - n }\right){\left({ s+a }\right)}^{ - \left({ n+1 }\right) }}$

$3$\displaystyle{={\left({ - 1 }\right)}^{n}\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{ n+1 } \hspace{2}}}$ 　･･････(9)

ラプラス変換の線形性より

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ { \left({ - t }\right) }^{n}{e}^{ - at } }\right}={\left({ - t }\right)}^{n}L\text{\hspace{1}}\left{{ {e}^{ - at } }\right}}$ ･･････(10)

の関係が成り立つ．

(9)と(10)より

$3$\displaystyle{{\left({ - t }\right)}^{n}L\text{\hspace{1}}\left{{ {e}^{ - at } }\right}={\left({ - 1 }\right)}^{n}\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{ n+1 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ {t}^{n}{e}^{ - at } }\right}=\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{ n+1 } \hspace{2}}}$

となる．

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　最終更新日： 2024年8月24日